Somme des carrés des n premiers entiers naturels

D'après le cours, nous connaissons la somme des \(n\) premiers entiers naturel, soit pour tout \(n\geq 1\) ,   \(S_n=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\) .

L'objectif de cet exercice est de déterminer le terme général de la suite \((S^2_n)\) définie, pour tout    \(n\geq 1\) , par \(S^2_n=1^2+2^2+...+n^2\) , c'est-à-dire la somme des carrés des \(n\) premiers entiers naturels.

Conseil : la démonstration proposée suit un raisonnement similaire à celui utilisé pour démontrer l'expression de \(S_n\) en fonction de \(n\) et il est profitable de revoir cette preuve avant d'entamer l'exercice.

1. Démontrer que, pour tout  \(n\) dans  \(\mathbb N\) ,  \((n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1\) . On remarquera que cette identité reste valable dans \(\mathbb R\) .

2. Exprimer \((n+1)^3-n^3\) en fonction de \(n\) puis compléter le tableau suivant.
`\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n=1&2^3-1^3& =&3\times 1^2+3\times 1+1 \\ \hline n=2&3^3-2^3& =&3\times 2^2+3\times 2+1 \\ \hline n=3&4^3-3^3& =&3\times ...^2+3\times ...+1 \\ \hline n=4&5^3-4^3& =&3\times ...^2+3\times ...+1 \\ \hline ...&.. & ... &...\\\hline n&(n+1)^3-n^3& =&3\times ...^2+3\times ...+1 \\ \hline \end{array}`
3. En additionnant tous les termes de la deuxième colonne puis tous ceux de la quatrième colonne, démontrer que, pour tout   \(n\) ,  \((n+1)^3-1=3S_n^2+3S_n+n\) . 

4. En déduire l'expression de \(S_n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) .

5. Démontrer que la suite définie pour tout \(n\geq 1\) par \(R_n=\frac{S^2_n}{S_n}\) est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

6. Exprimer \(S_n^2\) en fonction de \(S_n\) pour tout \(n\geq1\) .